1_1 电场与电路
场 作为一个重要的物理概念，最早由英国物理学家法拉第提出。
- 孤立正点电荷的电场。
- 孤立负点电荷的电场。
- 等量同种电荷的电场。
- 等量异种电荷的电场。
- 点电荷与带电平板所形成的电场。
- 匀强电场。
19世纪60年代，麦克斯韦建立了完整的电磁场理论，并预言电磁波的存在。
电、磁都是波，电场在xz平面沿z轴传播。磁场在yz平面沿z轴传播。
电场与电路是紧密联系的概念。电荷在电场的作用下定向移动形成电流，电流所通过的路径则称为电路。
描述电场的物理量如电场强度、电流密度等与描述电路的物理量电压、电流等具有直接的定量关系。事实上电路中的欧姆定律、基尔霍夫定律等可以从麦克斯韦电磁场理论推导得到。
- 电场强度 E
- 磁场强度 H
- 电位移矢量 D
- 磁感应强度 B
- 电流 i
- 电压 u
- 电荷 q
- 磁通量 Φ
利用电荷的有序运动，可以传输能量和信息
当用导线将电源及电子元器件连在一起构成一个导电回路时，电流在金属导线内流动，但电能分布却并非仅在导线之内。（辐射效应。即在导线周围有电能的分布）
当电路的几何尺寸远远小于电路中信号的波长时，电路周围的辐射效应很小，可以忽略不计。这时电流的能量完全分布在金属导线和电路元器件之内，这样的电路称为集总参数电路。这种电路可以用简化的电路模型来描述。
反之，辐射效应明显，电路各处的电流都不一样，电流的能量在空间分布，这样的电路称为分布参数电路。
如：一个音频放大电路工作频率为f=25kHz，则
$$ λ_{波长}=\frac cf=\frac {310^8m/s}{2510^3/s}=12km $$
12km远大于电路尺寸，所以视为集总参数电路
场是路的基础。场是一般问题，路仅是场问题的特殊情况。
- 集总参数电路：可以简化等效电路，用电压、电流等之间的物理量来描述电路。
- 分布参数电路：采用场的观点来分析。
1_2 基本物理变量
电流及电流参考方向
电荷的定向运动形成电流。其大小等于单位时间内通过导体横截面的电荷。数学表达式：
$$ i=\frac {dq}{dt} $$
如：电流从a点到b点每秒有2库伦，则$i=i_{ab}=2A$
如：电流从a点到b点每秒有2库伦，则$i=i_{ba}=-2A$
电压及电压参考方向
电场力将单位正电荷从电场中的a点移到b点所做的功，称为a、 b 两点间的电压。数学表达式：
$$ u=\frac {dw}{dq} $$
习惯上，在电场力的作用下，如果正电荷从A点移动到B点失去电场能量，则A点为正极，B点为负极。
关联参考方向
分析电路时，电压、电流都要事先假定其参考方向。他们之间彼此没有关系，可以任意假定。但为了方便简化分析，规定关联参考方向，即电流的流入端为电压的正极性。
功率
单位时间内某一段电路消耗（或提供）的能量，称为功率，数学表示：
$$ p =\frac {dw}{dt} = \frac {dw}{dq} * \frac {dq}{dt} = u * i $$
电压和电流均为代数量，其乘积功率也是。在关联参考方向的前提下，正功率代表吸收功率，负功率代表发出功率。
例
$ P_{1Ω} = ui = 1W $
$ P_{1V} = ui = -1W $
1_3 基尔霍夫定律
只要是集总参数电路，基尔霍夫电流定律就适用。
| 基尔霍夫电流定律 | 基尔霍夫电压定律 |
|---|---|
| Kirchhoff Current Law | Kirchhoff Voltage Law |
| KCL | KVL |
常用名称
支路
一个二端元件视为一条支路，其电流和电压分别称为支路电流和支路电压。（如图由6支路）
节点
两条以及两条以上支路的连接点称为节点。（如图有4节点。d、e为一个）
- 广义节点：将电路中的一部分围成一个封闭平面（高斯面），此封闭平面为广义节点。
回路
由支路所组成的闭合路径。（如图有6回路）
网孔
内部不含有支路的回路。（网孔是特殊的一种回路）（如图为3）
KCL
概念
对于集总参数电路中的任一结点，在任一时刻流出该结点的电流代数和等于零。
$$ \sum_{k=1}^{n_{支路数目}} i_k = 0 $$
物理意义
在任一单位时刻流出结点的电荷总数$\frac {dq}{dt} = -i_1 + i_2 - i_3 + i_4 - i_5 = 0$
结点只是理想导体的汇合点，不可能积累电荷，也不可能创造或消灭，根据电荷守恒，必须为零。
总结
- KCL方程是线性齐次代数方程，它表明了各个支路电流所受的线性约束。
- KCL适用于任何集总参数电路。它仅与元件的相互连接方式有关，而与元件的性质无关。所以说，KCL及映了电路的近连性质。
- KCL对集总参数电路中任一假设的闭合面也是适用的。
KVL
与KCL是对偶的
概念
对于集总参数电路中的任一回路，在任一时刻，沿闭合回路绕行一周，各支路电压的代数和等于零
$$ \sum_{k=1}^{n_{支路数目}} u_k = 0 $$
物理意义
电荷沿着回路绕行一周，回到原点，其电势能不变。KVL是电路中能量守恒的体现。
总结
- KVL方程是线性齐次代数方程，它表明了各个支路电压所受的线性约束。
- KVL适用于任何集总参数电路。它仅与元件的相互连接方式有关，而与元件的性质无关。
2_1 电阻元件
定义
如果一个二端元件在任一时刻的电压u与其电流i之间的关系，由 u-i平面上一条曲线确定，则此二端元件称为二端电阻元件，其数学表达式为：
$$ f(u,i)=0 $$
- 特性曲线为通过坐标原点的直线，称为线性电阻，否则称为非线性电阻
- 特性曲线随时间变化的电阻，称为时变电阻，否则成为不变电阻或定常电阻
线性非时变电阻
电阻参数：$ R = \frac ui Ω$
电导参数：$ G = \frac iu S$ （电阻的倒数。单位西门子，简称西）
功率
$$ p = ui = Ri^2 = \frac {ui^2}{R} = Gu^2 = \frac {i^2}{G} $$
- 负电阻可以发出功率，也称有源电阻
2_2 独立电源
实际电源的两个理想化
- 可以对外提供无穷大的能量
- 输出的电压或电流不随外接电路变化
- 独立电压源
- 独立电流源
定义
电压源：如果一个二端元件的电流无论为何值，其电压保持常量$U_s$或按给定的时间函数$u_s(t)$变化，则此二端元件称为独立电压源，简称为电压源。
其功率：在关联参考方向下，电压源的吸收功率为：$P_s = U_sI_s$。其值可正可负可零。
电流源：如果一个二端元件的电压无论为何值，其电流保持常量$I_s$或按给定的时间函数$i_s(t)$变化，则此二端元件称为独立电流源，简称为电流源。
其功率：关联参考方向下，电流源的吸收功率为：$P_s = I_sU_s$。其值可正可负可零
2_3 两类约束与2b方程
电路的总体特性包含：元件特性与连接特性（拓扑特性）
元件约束：由元件的VCR（电压电流关系）描述。VCR反映了电路元件对所在支路的电压、电流之间所起的一种约束关系。
拓扑约束：基尔霍夫定律KCL、KVL描述对支路的电压、电流约束。
应用两类约束建立的电路方程称为2b方程。
2b方程
2b方程是指以b个支路电流和b个支路电压作为变量建立的一组数目为2b的方程组
对于具有b条支路n个节点的平面连通电路，可以列出线性无关的方程为：
$$ \begin{cases}
(n-1)个KCL方程\
(b-n+1)个KVL方程\
b个二端元件的VCR方程\
\end{cases} $$
2b方程式求解电路最基本的电路方程，分析电路的基本依据
2_4 支路电流法与支路电压法
对于仅由独立电压源和线性二段电阻构成的电路，可将欧姆定律$u=Ri$代入KVL方程中，消去全部电阻支路电压，变成以直流电流为变量的KVL方程。加上原来的KCL方程，得到以b个支路电流为变量的b个线性无关的方程组，称为支路电流法方程。
（简而言之，将欧姆定律代入消元）
在2b方程的基础上，我们将电阻元件的VCR方程 $i= Gu$ 带入到KCL方程中，将支路电流转换为支路电压，得到$n-1$个支路电压作为变量的KCL方程，加上原来的$b-n+1$个KVL方程，得到以b个支路电压为变量的b个线性无关的方程组，称为支路电压法方程。
(简而言之，将$i=Gu$代入消元)
3_1 线性无源单口的等效
线性电阻的串联
$$
u = u_1 + u_2 + … + u_n = R_1i_1 + R_2i_2 + … + R_ni_n = (R_1 + R_2 + … + R_n)i\
$$
线性电阻的并联
(G是电阻的倒数)
$$
i = i_1 + i_2 + … + i_n = G_1u_1 + G_2u_2 + … + G_nu_n = (G_1 + G_2 + … + G_n)u\
$$
电阻三角形联结等效变换为电阻星型联结的公式为
$$R_i = \frac {接于i端两电阻乘积}{△连接三电阻之和}$$
